Matemática
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
A
matemática (do
grego μάθημα,
transl. máthēma, "
ciência"/"
conhecimento"/"
aprendizagem"; e
μαθηματικός, transl.
mathēmatikós, "apreciador do conhecimento") é a ciência do
raciocínio lógico e
abstrato.
A matemática estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas e
variações. Um trabalho matemático consiste em procurar por padrões,
formular conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de
axiomas e definições, estabelecer novos resultados.
A matemática vem sendo construída ao longo de muitos anos. Resultados
e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e ainda assim a
matemática continua a desenvolver-se permanentemente.
Registros arqueológicos mostram que a matemática sempre foi parte da
atividade humana. Ela evoluiu a partir de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de
formas geométricas e movimentos de objetos físicos. Raciocínios mais abstratos que envolvem
argumentação lógica surgiram com os matemáticos gregos aproximadamente em 300 a.C., notadamente com a obra
Os Elementos de
Euclides. A necessidade de maior rigor foi percebida e estabelecida por volta do século XIX.
A matemática se desenvolveu principalmente na
Mesopotâmia, no
Egito, na
Grécia, na
Índia, no
Oriente Médio. A partir da
Renascença o desenvolvimento da matemática intensificou-se na
Europa, quando novas
descobertas científicas levaram a um crescimento acelerado que dura até os
dias de hoje.
Há muito tempo busca-se um consenso quanto à
definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do
século XX tomou forma uma definição
que tem ampla aceitação entre os
matemáticos:
matemática é a ciência das regularidades (
padrões).
Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar
padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou
seja, os matemáticos procuram regularidades nos
números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. Uma outra
definição seria que matemática é a investigação de estruturas abstratas definidas
axiomaticamente, usando a
lógica formal como
estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas
ciências naturais, mais comumente na
física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (
matemática pura),
por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização
unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos
comuns.
A matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do
conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química,
biologia, e ciências sociais.
Matemática aplicada,
ramo da matemática que se ocupa de aplicações do conhecimento
matemático em outras áreas do conhecimento, às vezes leva ao
desenvolvimento de um novo ramo, como aconteceu com
Estatística ou
teoria dos jogos.
O estudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática,
sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil
anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das
cônicas ou de
teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por
Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.
História
Além de reconhecer quantidades de objetos, o homem pré-histórico
aprendeu a contar quantidades abstratas como o tempo: dias, estações,
anos. A aritmética elementar (adição, subtração, multiplicação e
divisão) também foi conquistada naturalmente. Acredita-se que esse
conhecimento é anterior à
escrita e, por isso, não há registros históricos.
O primeiro objeto conhecido que atesta a habilidade de cálculo é o
osso de Ishango, uma
fíbula de
babuíno com riscos que indicam uma
contagem, que data de 20 000 anos atrás.
1
Muitos sistemas de numeração existiram. O
Papiro de Rhind é um documento que resistiu ao tempo e mostra os numerais
escritos no
Antigo Egito.
O
desenvolvimento da matemática permeou as primeiras civilizações, e tornou possível o desenvolvimento de aplicações concretas: o
comércio, o manejo de plantações, a
medição de terra, a previsão de eventos astronômicos, e por vezes, a realização de rituais religiosos.
A matemática começou a ser desenvolvida motivada pelo comércio,
medições de terras para a agricultura, registro do tempo, astronomia. A
partir de 3000 a.C., quando Babilônios e Egípcios começaram a usar
aritmética e geometria em construções, astronomia e alguns cálculos
financeiros, a matemática começou a se tornar um pouco mais sofisticada.
O estudo de estruturas matemáticas começou com a aritmética dos
números naturais, seguiu com a extração de raízes quadradas e cúbicas, resolução de algumas
equações polinomiais de grau 2,
trigonometria,
frações, entre outros tópicos.
Euclides: painel em mármore,
Museu dell'Opera del Duomo.
Tais desenvolvimentos são creditados às civilizações acadiana,
babilônica, egípcia, chinesa, ou ainda, àquelas do vale dos hindus. Por
volta de 600 a.C., na
civilização grega, a matemática, influenciada por trabalhos anteriores e pela
filosofia, tornou-se mais abstrata. Dois ramos se distinguiram: a
aritmética e a
geometria. Formalizaram-se as generalizações, por meio de definições axiomáticas dos objetos de estudo, e as demonstrações. A obra
Os Elementos de Euclides é um registro importante do conhecimento matemático na Grécia do século III a.C.
A civilização muçulmana permitiu que a herança grega fosse
conservada, e propiciou seu confronto com as descobertas chinesas e
hindus, notadamente na questão da representação numérica
[carece de fontes].
Os trabalhos matemáticos desenvolveram-se consideravelmente tanto na
trigonometria, com a introdução das funções trigonométricas, quanto na
aritmética. Desenvolveu-se ainda a
análise combinatória, a
análise numérica e a
álgebra de polinômios.
Na época do Renascentismo, uma parte dos textos árabes foi estudada e traduzida para o
latim. A pesquisa matemática se concentrou então na
Europa. O cálculo algébrico desenvolveu-se rapidamente com os trabalhos dos franceses
François Viète e
René Descartes. Nessa época também foram criadas as tabelas de
logaritmos,
que foram extremamente importantes para o avanço científico dos séculos
XVI a XX, sendo substituídas apenas após a criação de computadores. A
percepção de que os números reais não são suficientes para resolução de
certas equações também data do século XVI. Já nessa época começou o
desenvolvimento dos chamados
números complexos,
apenas com uma definição e quatro operações. Uma compreensão mais
profunda dos números complexos só foi conquistada no século XVIII com
Euler.
No início do século XVII,
Isaac Newton e
Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram a noção de
cálculo infinitesimal e introduziram a noção de
fluxor
(vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX,
a matemática se desenvolveu fortemente com a introdução de novas
estruturas abstratas, notadamente os
grupos (graças aos trabalhos de
Évariste Galois) sobre a resolubilidade de equações polinomiais, e os
anéis definidos nos trabalhos de
Richard Dedekind.
O rigor em matemática variou ao longo do tempo: os gregos antigos
foram bastante rigorosos em suas argumentações; já no tempo da criação
do Cálculo Diferencial e Integral, como as definições envolviam a noção
de
limite
que, pelo conhecimento da época, só poderia ser tratada intuitivamente,
o rigor foi menos intenso e muitos resultados eram estabelecidos com
base na intuição. Isso levou a contradições e "falsos
teoremas". Com isso, por volta do século XIX, alguns matemáticos, tais como
Bolzano,
Karl Weierstrass e
Cauchy dedicaram-se a criar definições e demonstrações mais rigorosas.
A matemática ainda continua a se desenvolver intensamente por todo o mundo nos dias de hoje.
O ensino da matemática e, na verdade, de outras matérias, desde o
descobrimento do Brasil,
era ministrado pelos jesuítas até a expulsão deles em 1759. Desta data
até 1808 os ex-alunos dos jesuítas ficaram encarregados pelo ensino. De
1808 a 1834 a matéria era ministrada nas escolas do Exército e da
Marinha e a partir de 1873 também nas escolas de Engenharia. Em 1874 é
criada a Escola Politécnica a partir da Escola Central, ex-Escola
Militar. A Escola de Minas de Ouro Preto é criada em 1875 e a
Escola Politécnica de São Paulo em 1893. Assim, o ensino de matemática passa também a ser oferecido em escolas não militares.
2
Áreas e metodologia
As regras que governam as operações
aritméticas são as da
álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na
teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da
álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda
anéis e
corpos — estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos
números. O conceito de
vetor, importante para a física, é generalizado no
espaço vetorial e estudado na
álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.
O estudo do espaço se originou com a
geometria, primeiro com a
geometria euclidiana e a
trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-euclidianas, as quais cumprem um papel central na formulação da
teoria da relatividade. A
teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A
geometria diferencial e a
geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de
sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de
equações polinomiais. A
teoria dos grupos investiga o conceito de
simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A
topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.
Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o
cálculo
foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A
descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do
conceito de
função. O campo das
equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os
números reais
são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo
detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções
consiste na
análise real, a qual foi generalizada para
análise complexa, abrangendo os
números complexos. A
análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da
mecânica quântica, entre muitas outras coisas.
Para esclarecer e investigar os
fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da
teoria dos conjuntos,
lógica matemática e
teoria dos modelos.
Quando os
computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da
computabilidade,
complexidade computacional,
informação e
informação algorítmica, as quais são investigadas na
ciência da computação
Uma
teoria importante desenvolvida pelo ganhador do
Prémio Nobel,
John Nash, é a
teoria dos jogos, que possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais.
Os computadores também contribuíram para o desenvolvimento da
teoria do caos,
que trata do fato de que muitos sistemas dinâmicos não-lineares possuem
um comportamento que, na prática, é imprevisível. A teoria do caos tem
relações estreitas com a
geometria dos fractais, como o conjunto de
Mandelbrot e de Mary, descoberto por Lorenz, conhecido pelo atrator que leva seu nome.
Um importante campo na
matemática aplicada é a
estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A
análise numérica
investiga os métodos para resolver numericamente e de forma eficiente
vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de
arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos
da matemática úteis na ciência computacional.
Notação, linguagem e rigor
O símbolo do
infinito ∞ em várias formas.
A maior parte da notação matemática em uso atualmente não havia sido inventada até o século XVI.
3
Antes disso, os matemáticos escreviam tudo em palavras, um processo
trabalhoso que limitava as descobertas matemáticas. No século XVIII,
Euler
foi responsável por muitas das notações em uso atualmente. A notação
moderna deixou a matemática muito mais fácil para os profissionais, mas
os iniciantes normalmente acham isso desencorajador. Isso é extremamente
compreensivo: alguns poucos símbolos contém uma grande quantidade de
informação. Assim como a
notação musical, a notação matemática moderna tem uma sintaxe restrita e informações que seriam difíceis de escrever de outro modo.
A língua matemática pode também ser difícil para os iniciantes. Palavras como
ou e
apenas têm significados muito mais precisos do que a fala do dia-a-dia. Além disso, palavras como
aberto e
campo têm recebido um significado matemático específico. O jargão matemático inclui termos técnicos como
homeomorfismo e
integral.
Mas há uma razão para a notação especial e o jargão técnico :
matemática requer mais precisão do que a fala do dia-a-dia. Matemáticos
se referem a essa precisão da
linguagem e lógica como
"rigor".
Matemática como ciência
Conceitos e tópicos
Quantidades
O estudo de quantidades começa com os
números, primeiro os familiares
números naturais, depois os
inteiros, e as operações aritmética com eles, que é chamada de
aritmética. As propriedades dos números inteiros são estudadas na
teoria dos números, dentre eles o popular
Último Teorema de Fermat. A teoria dos números também inclui dois grandes problemas que ainda não foram resolvidos:
conjectura dos primos gêmeos e
conjectura de Goldbach.
Conforme o sistema de números foi sendo desenvolvido, os números inteiros foram considerados como um
subconjunto dos
números racionais (
frações). Esses, por sua vez, estão contidos dentro dos
números reais, que são usados para representar
quantidades contínuas. Números reais são parte dos
números complexos. Esses são os primeiros passos da hierarquia dos números que segue incluindo
quaterniões e
octoniões.
Considerações sobre os números naturais levaram aos
números transfinitos, que formalizam o conceito de contar até o
infinito. Outra área de estudo é o tamanho, que levou aos
números cardinais e então a outro conceito de infinito : os
números Aleph, que permitem uma comparação entre o tamanho de conjuntos infinitamente largos.
Estrutura
Muitos objetos matemáticos, tais como
conjuntos de números e
funções matemáticas, exibem uma estrutura interna. As propriedades estruturais desses objetos são investigadas através do estudo de
grupos,
anéis,
corpos e outros sistemas abstratos, que são eles mesmos tais objetos. Este é o campo da
álgebra abstrata. Um conceito importante é a noção de
vetor, que se generaliza quando são estudados os
espaço vetorial em
álgebra linear. O estudo de vetores combina três das áreas fundamentais da matemática: quantidade, estrutura e espaço.
Espaço
O estudo do espaço se originou com a
geometria4 - em particular, com a
geometria euclidiana.
Trigonometria combina o
espaço e os
números, e contém o famoso
teorema de Pitágoras.
O estudo moderno do espaço generaliza essas ideias para incluir
geometria de dimensões maiores, geometria não-euclidiana (que tem papel
central na
relatividade geral) e
topologia. Quantidade e espaço juntos fazem a
geometria analítica,
geometria diferencial, e
geometria algébrica.
Transformações
Entender e descrever uma transformação é um tema comum na
ciência natural e
cálculo foi desenvolvido como uma poderosa ferramenta para investigar isso. Então as
funções foram criadas, como um conceito central para descrever uma quantidade que muda com o passar do tempo. O rigoroso estudo dos
números reais e funções reais são conhecidos como
análise real, e a
análise complexa a equivalente para os
números complexos.
A
hipótese de Riemann, uma das mais fundamentais perguntas não respondidas da matemática, é baseada na análise complexa.
Análise funcional se foca no
espaço das funções. Uma das muitas aplicações da análise funcional é a
Mecânica quântica.
Muitos problemas levaram naturalmente a relações entre a quantidade e
sua taxa de mudança, e esses problemas são estudados nas
equações diferenciais. Muitos fenômenos da natureza podem ser descritos pelos
sistemas dinâmicos; a
teoria do caos descreve com precisão os modos com que muitos sistemas exibem um padrão imprevisível, porém ainda assim determinístico.
Fundações e métodos
Para clarificar as
fundações da matemática, campos como a
matemática lógica e a
teoria dos conjuntos foram desenvolvidos, assim como a
teoria das categorias que ainda está em desenvolvimento.
Matemática discreta
Matemática discreta é o nome comum para o campo da matemática mais geralmente usado na
teoria da computação. Isso inclui a
computabilidade,
complexidade computacional e
teoria da informação.
Computabilidade examina as limitações dos vários modelos teóricos do
computador, incluindo o mais poderoso modelo conhecido - a
máquina de Turing.
Matemática aplicada
Matemática aplicada considera o uso de ferramentas abstratas de matemática para resolver problemas concretos na
ciência,
negócios e outras áreas. Um importante campo na matemática aplicada é a
estatística, que usa a
teoria das probabilidades
como uma ferramenta e permite a descrição, análise e predição de
fenômenos onde as chances tem um papel fundamental. Muitos estudos de
experimentação, acompanhamento e observação requerem um uso de
estatísticas.
Análise numérica
investiga métodos computacionais para resolver eficientemente uma
grande variedade de problemas matemáticos que são tipicamente muito
grandes para a capacidade numérica humana; isso inclui estudos de
erro de arredondamento ou outras fontes de erros na computação.
Matemáticos notáveis
Referências
Bibliografia
- BOYER, Carl B. História da matemática. 2ª Edição. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996. ISBN 8521200234.
- COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é Matemática?. Ciência Moderna, 2000. ISBN 8573930217.
- DEVLIN, Keith. Matemática: a Ciência dos Padrões. Editora Porto, 2003. ISBN 9720451335.
Ver também
Ver artigo principal: 
Ver página anexa: 
